
\documentclass{article}
\usepackage{alltt}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\hrule

\medskip

{\bf Équations}

\begin{itemize}
\item Bézier récursif~:
\begin{eqnarray}
  P(t) & = & P_0^L(t) \\
  P_i^0(t) & = & P_i \\
  P_i^L(t) & = & (1-t)P_i^{L-1}(t)+tP_{i+1}^{L-1}(t)
\end{eqnarray}

\item Bézier itérative~:
\begin{eqnarray}
P(t) & = & \sum^L_{k=0}P_kB_k^L(t) \\
B_k^L(t) & = & \binom{L}{k}t^k(1-t)^{L-k} \\
\binom{L}{k} & = & \frac{L!}{k!(L-k)!}
\end{eqnarray}

\item Spline~:
\begin{eqnarray}
P(t) & = & \sum_{k=0}^L{P_k R_k (t)}
\end{eqnarray}

\item B-Spline~:
\begin{eqnarray}
  R_k^m & = & \begin{cases}
	  \begin{cases}
	  1 & t_k < t \le t_{k+1} \\
	  0 & \text{sinon}
	  \end{cases} & m = 1 \\
	  (\frac{t-t_k}{t_{k+m-1}-t_k})R_k^{m-1}(t) + (\frac{t_{k+m}-t}{t_{k+m}-t_{k+1}})R_{k+1}^{m-1} & \text{sinon}
	  \end{cases}
\end{eqnarray}

\item Lumière diffuse, loi de Lambert~:
\begin{eqnarray}
I_d & = & I_s \rho_d \frac{\vec{s} \cdot \vec{m}}{|\vec{s}||\vec{m}|}
\end{eqnarray}

\item Modèle de Phong, lumière spéculaire~:
\begin{eqnarray}
\vec{r} & = & - \vec{s} + 2\frac{(\vec{s} \cdot \vec{m})}{|\vec{m}|^2}\vec{m} \\
I_{sp} & = & I_s \rho_{sp} \left( \frac{\vec{r}}{|r|} \cdot \frac{\vec{v}}{|v|} \right)^f
\end{eqnarray}

\item Remplacement de $\vec{r}$ pour le modèle de Phong~:
\begin{eqnarray}
\vec{h} & = & \vec{s} + \vec{v} \\
I_{sp} & = & I_{s} \rho_{sp} \left( \frac{\vec{h}}{|h|} \cdot \frac{\vec{m}}{|m|} \right)^f
\end{eqnarray}

\item Calcule rapide de puissance~:
\begin{eqnarray}
D^f & \approx & \frac{D}{f - fD + D}
\end{eqnarray}

\item Lumière ambiante~:
\begin{eqnarray}
I & = & I_a \rho_a
\end{eqnarray}

\item Lumière totale~:
\begin{eqnarray}
I & = & I_a \rho_a + I_d \rho_d \text{Lambert} + I_{sp} \rho_{sp} \text{Phong}^f
\end{eqnarray}

\item Calcul de rayon~:
\begin{eqnarray}
  r(t) & = & {\cal O} + t \text{dir}(c, l) \\
   \text{dir}(c, l) & = & W\left(\frac{2c}{nC} -1\right)\vec{u} + H\left(\frac{2l}{nL} -1\right)\vec{v} -N\vec{n}
\end{eqnarray}


\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


%% FIN
%% Local Variables: 
%% compile-command: "C:\\Progra~1\\TeXLive\\bin\\win32\\latex.exe FeuilleFormule.tex" 
%% End: 
