
\documentclass{article}
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\newcommand\exemple[1]{{\color{blue}#1}}

\pagestyle{fancy}

\title{INF 5071, Formules intra}
\author{Bruno Malenfant}
\date{18 juin 2009}

\rhead{Formules\\INF-5071}

\begin{document}


%\maketitle

% -------------------------------------------------------------------------------


Transformé linéaire pour passer d'une fenêtre à l'autre~:

\begin{eqnarray}
A_x & = & K_1 * D_x + K_2 \\
A_y & = & K_3 * D_y + K_4
\end{eqnarray}

où

\begin{eqnarray}
\frac{D_x - D_g}{D_d - D_g} & = & \frac{A_x - A_g}{A_d - A_g} \\
\frac{D_y - D_b}{D_h - D_b} & = & \frac{A_y - A_b}{A_h - A_b}
\end{eqnarray}

Représentation implicite~:

\begin{itemize}
\item ligne par A et B : $F(x, y) = (y-A_y)(B_x-A_x) - (x-A_x)(B_y-A_y)$
\item cercle à l'origine : $F(x, y) = x^2+y^2-r^2$
\end{itemize}

Représentation paramétrique~:

\begin{itemize}
\item ligne
\begin{eqnarray}
L(t) & = & A + (B - A)t
\end{eqnarray}
\item Plan
\begin{eqnarray}
P(s, t) & = & C + s\vec{a} + t\vec{b}
\end{eqnarray}
\end{itemize}

Interpolation linéaire~:

\begin{eqnarray}
P = (1-t)A + tB
\end{eqnarray}

Équation normal-point~:

\begin{eqnarray}
\vec{n} \cdot(P - C) & = & 0
\end{eqnarray}

Intersection Ligne 2D - ligne 2D~:

  \begin{eqnarray}
  L_1(t) & = & A + \vec{b}t \\
  L_2(u) & = & C + \vec{d}u 
  \end{eqnarray}
  où~: 
  \begin{eqnarray}
  \vec{b} & = & B - A \\
  \vec{d} & = & D - C
  \end{eqnarray}

  \begin{eqnarray}
  t  & = & \frac{c_x + d_xu}{b_x} \\
  \frac{b_yc_x - b_xc_y}{b_xd_y - b_yd_x} & = &  u
  \end{eqnarray}

Intersection ligne 3D et plan 3D~:

  \begin{eqnarray}
  t_h & = & \frac{\vec{n} \cdot ( B - A )}{\vec{n} \cdot \vec{c}}
  \end{eqnarray}

Transformation 2D~:

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
  m_{11} & m_{12} & m_{13} \\
  m_{21} & m_{22} & m_{23} \\
  0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
\end{eqnarray}  

Inversion de matrice~:

  \begin{eqnarray}
  M^{-1} & = & \frac{^t(Cof(M))}{|M|} \\
  M^{-1} \times M & = & I
  \end{eqnarray}

Transformation 3D~:

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
  m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\
  m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24} \\
  m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34} \\
  0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}
\end{eqnarray}  

Projection~:

\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
			 \frac{2N}{D-G} & 0 & \frac{D+G}{D-G} & 0 \\
			 0              & \frac{2N}{H-B} & \frac{H+B}{H-B} & 0 \\
			 0 & 0 & \frac{F + N}{F - N} & \frac{-2NF}{F - N} \\
			 0 & 0 & -1                  & 0 
			 
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}

% -------------------------------------------------------------------------------
% ---------------------------------------- FIN ----------------------------------
% -------------------------------------------------------------------------------


\end{document}

%% FIN
%% Local Variables: 
%% compile-command: "C:\\Progra~1\\TeXLive\\bin\\win32\\latex.exe formuleIntra.tex" 
%% End: 
